益古演段

三卷。元李冶(详见《测圆海镜》)撰。这是李冶写于1259年的关于天元术的普及著作。在自序中李冶称：“近世有某者，以方圆移补成编，号《益古集》，真可与刘李相颉颃。余犹恨其闭匿而不尽发，遂再为移补条段，细翻图式，使粗知十百者，便得入室啖其文。”显见《益古演段》是在蒋周(北宋人)《益古集》基础上写成的。该书三卷共六十四题，主要论述方圆组合问题，所求多为圆径、方边、周长之类，除四题(三十八、四十四、四十八、五十六)为一次方程外，余皆为二次方程。卷上二十二问专论正方形与圆；卷中二十问从正方形推广为长方形；卷下二十二问为各种较为复杂的图形。每题之后有答，答后有解释，包括“法”(即天元术)、“依条段求之”(即按条段法给出计算方程各项系数的算式)、“条段图”(即方程的几何图解)、“义”(图的说明)。其中二十三问有“旧术”，当为蒋周《益古集》的方法。书中新旧两术并列，新术为天元术，旧术即“条段法”。所谓“条段法”，即寻求题中各量的几何意义，画出条段图，通过面积图形的割补寻求等量关系，求得方程各项系数的方法。旧术虽建立了方程，却无立天元一的步骤，因此对于较复杂的问题或建立高次方程则无能为力。李冶此书新旧两术并列，完成了条段法向天元术的过渡，向人们揭示了条段法虽直观，但复杂多变，技巧性较高，而天元术虽抽象，但具有一般性，思维过程简单。《益古演段》中的“依条段求之”，其意义不同于条段法：“条段皆于立天元一内取出”，李冶在第五十六题的这句案语说明“依条段求之”乃是从天元术中提炼出来的。《益古演段》的问题虽然包括四五部分，但其核心部分是“法”，即说明如何用天元术列方程，其主要步骤为：立天元一(设某一未知量为x，在其边上注“元”字)，找等值多项式(应包含天元)，逐步相消。其中第二步最为关键。在运算过程中方程各项系数若出现分数或无理数，李冶采取化分数为整数、化无理数为有理数的办法来避免筹算无法表示无理数的麻烦。值得注意的是在第四十问中，李冶用了一种“连枝同体术”，即当二次项系数不为1时，为了方便开方，设一辅助未知数，令其与原未知数与二次项系数乘积相等，这样就将新未知数方程二次项系数绝对值化为1，这是对《测圆海镜》数学理论的一个发展。另外李冶在推导方程中，通过各种等量关系减少未知数，无须用方程组。求出天元一后，其他量便可依关系求出。《益古演段》最大特点是通俗易懂，如砚坚序中所言：“说之详，非若溟滓黯黮之不可晓；析之明，非若浅近粗俗之无足观。”“颇晓十百，披而览之，如登坦途，前无滞碍。”成为一部图文并茂易于自学的教材，连同《测圆海镜》一道为后世学者之指南，并建立了用天元术研究几何问题的模式，清张敦仁《缉古算经细草》便是仿《益古演段》而作。该书缺点是李冶只考虑方程正根，未用运算符号，有些题计算粗糙，过于繁琐(如第四十三、五十六问)。《益古演段》初刊本1282年刻出；后收入《四库全书》中；清李锐校订后收入《白芙堂丛书》本；清刘铎又据李本收入《古今算学丛书》中。